कहानी में ट्विस्ट नही, ट्विस्ट मे कहानी (The Cavendish Torsion bar experiment)

सहसा आपण कहानी मे ट्विस्ट ही फ्रेज ऐकतो, पण आज तसे होणार नाही आज मी जी सांगणार आहे ती आहे ट्विस्ट मे कहानी.

पार्ट १:  सबसे बडा खिलाडी "न्यूटन"

आपण आपल्या नेहमीच्या स्टाईलप्रमाणे गोष्टीत गोष्ट सांगत असतो तर आज ती गोष्टीतली गोष्ट सुरुवातीलाच सांगतो. 

एका राजाने काहीतरी पण ठेवला आणि हे घोषित केले की जो कोणी हे काम करेल त्याला हत्तीच्या वजनाइतके सोने देण्यात येईल. मग एका माणसाने तो पण पूर्ण केला आणि वेळ आली ती हत्तीच्या वजनाइतके सोने देण्याची. मित्रो तुमचा विश्वास बसणार नाही पण पूर्वीचे राजे आताच्या नेत्यांसारखे नव्हते मोठमोठी आश्वासने देऊन इलेक्शन झाले की ती सपशेल विसरून जायला. तद्वत राजाने कबुल केलेले सोने द्यायचा निश्चय केला, पण एक प्रॉब्लेम झाला. हत्तीचे वजन मोजावे कसे? एवढा मोठा तराजू कुठून आणावा की ज्यात एका बाजूला हत्ती आणि दुसऱ्या बाजूला सोने टाकता येईल? अन्यथा अशा तराजूविना हत्तीचे वजन करावेच कसे? काहीच मार्ग मिळेना, कुणालाही काही सुचेना. काही लोक जे आताच्या टेररीस्ट लोकांच्या मेन्टॅलिटीचे होते त्यांनी सांगितले की हत्तीला कापा आणि त्याचे तुकडे तुकडे करून वजन करा. पण राजा एवढा वेडा नव्हता, त्याने लागलीच हा मार्ग निकाली काढला. अशाप्रकारे मग इच्छा असूनही केवळ टेक्निकल डिफिकल्टीमुळे राजावर वचन मोडण्याचे लांच्छन येऊ घातले होते. मग प्रत्येक क्लायमॅक्सला येतो तसा मदतीसाठी समोर आला एक हिरो.
त्या हिरोने काय करावे? पाण्यात एक बोट घेतली, तिच्यात हत्तीस चढविले. हत्तीच्या वजनाने ती बोट पाण्यात दाबली जाऊन थोडी खाली गेली, आणि मग काही वेळाने स्थिर झाली. त्या हिरोने मग बोट जितकी पाण्यात बुडाली होती त्या लाईनवर म्हणजे हत्ती चढल्यावर बोटीला ज्या भागापर्यंत पाणी लागले होते तिथे एक रेघ आखून ठेवली आणि मग हत्तीला खाली उतरवले. हत्तीला खाली उतरविल्यावर बोट परत पाण्यातून थोडी वर आली. मग हिरो म्हणाला की आता बोटीत तोपर्यंत सोने टाका की जोपर्यंत बोट त्या मी केलेल्या रेघेच्या खुणेपर्यंत पाण्यात बुडत नाही. ती तेवढी बुडाली की झाले हत्तीच्या वजनाइतके सोने. ओहो केवढा हुशार आपला हिरो..!! एवढा हुशार माणूस आज असता तर नक्कीच आरबीआयचा गव्हर्नर झाला असता आणि कुणी त्याच्यावर आक्षेपही घेतला नसता, पण असो.  

हत्ती ही त्या मानाने खूप लहान गोष्ट झाली. त्याहून मोठ्या वस्तूचे वजन कसे करायचे? डबल स्लीट एक्स्पेरिमेंट या सिरीज मध्ये मी कळसूबाईचा डोंगर आणि पृथ्वी यांचे तुलनात्मक वजन सांगितले आहे.

समजा मी तुम्हास विचारले की पृथ्वीचे करेक्ट वजन मोजा, तर तुम्ही काय कराल? पृथ्वीचे वजन कसे मोजता येईल? आता पृथ्वी तर काही हत्तीसारखी मोठ्या बोटीत ठेवता येणार नाही.  मग काय करावे?

केशवसुतांची एक कविता आहे जी अत्यंत समर्पक आहे पण लोकांनी त्यावरून बरेच ट्रोल केले होते. ती कविता अशी आहे,

एक तुतारी द्या मज आणुनि

फुंकीन मी जी स्वप्राणाने

भेदुनि टाकीन सगळी गगनें

दीर्घ जिच्या त्या किंकाळीने

अशी तुतारी द्या मजला आणुनि

यावर लोक ट्रोल करायचे की आम्ही का आणून देऊ तुतारी? तुमची तुम्ही आणून काय फुंकायची ती फुंका की. वा रे वा म्हणजे तुतारी आमची आणि आयते फुंकणार तुम्ही? (बिचारे केशवसुत) 

अशाच प्रकारे पृथ्वीचे वजन कर असे सांगितल्यावर कुणी म्हणेल की 'एक तराजू द्या मज आणूनि तोलीन मी पृथ्वी ज्यात स्वप्राणाने,' मग अशावेळी गाढवापुढे गीता वाचण्याच्या पश्चातापाची अनुभूती आपणांस येईल. असो, पण डोके चालवा की पृथ्वीचे वजन मोजता येईल का?

शक्य तरी आहे का हे? असे करू पाहणारा वेडाच असेल नाही का?
पण नाही. खूप खूप हुशारातील हुशार लोकांनी पृथ्वीचे वजन मोजण्याचा प्रयत्न केला आहे. एकतर असे काही मनात येणे (म्हणजे पृथ्वीचे वजन करूयात वगैरे) हेच ग्रेट. ही असे विचार करणारी, आणि असे विचार करणारांना सन्मान देणारी युरोपातली लोके खरेच भन्नाट होती. नाहीतर आपण. आपल्या लोकांना वाटत होते की पृथ्वी क्षीरसागरात तरंगते आहे. आणि दोन प्राणी पृथ्वीचे वजन सांगू शकतात. एक वराह अवतारातले ते डुक्कर ज्याने पृथ्वी पाण्यातून वर उचलून आणली. आणि दुसरा म्हणजे शेषनाग ज्याच्या फण्यावर पृथ्वी डोलते आहे. असेच काही प्रवाद तिकडे युरोपातही होते पण तिथे ऍरिस्टोटल, गॅलिलिओ अशा काही जणांनी वेगळ्या रीतीने आणि वैज्ञानिक दृष्टीने विचार करण्याची हिम्मत दाखवली. आणि हा वैज्ञानिक दृष्टीकोन न्यूटनपर्यंत येता येता तिथल्या लोकांनी स्वीकृत करण्यास सुरुवातही केली. आपल्याकडेही असे लोक नव्हते असे नाही पण आपण त्यांना इतके दुर्लक्षित केले की ते पूर्णतः विस्मृतीतच गेले. आर्यभटाने पृथ्वीचा व्यास आणि त्रिज्या अगदी तंतोतंत सांगितली होती. त्यानेच पृथ्वी आपल्या अक्षाभोवती फिरते हेही सांगितले होते. आणि केंद्रस्थानी पृथ्वी नसून सूर्य आहे हेही सांगितले होते. ब्रह्मगुप्त आणि वराहमिहीर यांनी ग्रॅव्हिटीसारखा काहीतरी फोर्स अस्तित्वात असल्याचे नमूद केले होते. पण आपणातले करोडो लोक अजूनही शेषनाग आणि वराहअवतार कल्पना त्यागायला तयार नाहीत. 
असो,
न्यूटनने जो ग्रॅव्हिटेशनचा शोध लावला त्या शोधामुळे लोकांस पृथ्वीचे वजन मोजणे शक्य होऊ शकते असे वाटायला लागले.
न्यूटनचे कार्य इतके महान आहे ना की न्यूटनशिवाय आपल्या अनेक विज्ञानकथा पूर्ण होणे शक्यच नसते. तर न्यूटनने त्याच्या या सर्वोच्च शोधात नेमके काय म्हंटले हे पाहू. 
सफरचंद डोक्यात पडल्यावर न्यूटनला ग्रॅव्हिटीचा शोध लागला. एवढेच आपल्याला माहीत असते. पण पृथ्वी वस्तूंस स्वतःकडे ओढते त्या क्रियेला ग्रॅव्हिटी म्हणायचे एवढे सांगणे म्हणजे विज्ञान नव्हे. ते गणितीय आकड्यांनी सिद्ध करावे लागते आणि वैश्विक तत्वांशी पडताळून पहावे लागते.

न्यूटन म्हणतो की ग्राविटी म्हणजेच गुरुत्वाकर्षण हा एक फोर्स आहे. तो विश्वातल्या प्रत्येक कणात असतो, जिला काही मास म्हणजे वजन आहे त्या प्रत्येक वस्तूत हा फोर्स असतो, तुमच्यात आहे आणि माझ्यातही आहे. आणि तो फोर्स जगातील दुसऱ्या प्रत्येक वस्तूला आपल्याकडे खेचतो. पण हा फोर्स असाच मोघमपणे कुणालाही आपल्याकडे खेचत नाही. आणि एवढेच नाही तर कोणत्याही दोन वस्तूंमधील हा फोर्स सगळीकडे सारखाच नसतो. तर तो अवलंबून असतो त्या दोन वस्तूंच्या वस्तुमानावर म्हणजेच वजनावर आणि त्या दोन वस्तूंतील अंतरावर. जितके दोन वस्तूचे वजन जास्त तितका त्यांच्यात हा खेचण्याचा फोर्स जास्त असतो, आणि जितके त्यांच्यातील अंतर वाढेल तितका तो क्षीण म्हणजे कमी होत जातो,  हे आपल्याला थोडे गणिताने समजून घ्यावे लागेल.

समजा आपण स्पेसमध्ये दोन मोठे दगड घेतले तर या दोघांमध्ये न्यूटनच्या म्हणण्याप्रमाणे ग्राविटी म्हणजेच एकमेकांस आपल्याकडे खेचणारा फोर्स असतो. मग हा फोर्स नेमका किती असतो?

न्यूटन सांगतो की हा फोर्स त्या दोन वस्तूंच्या वजनांच्या गुणाकाराच्या प्रमाणात असतो. म्हणजे समजा एका दगडाचे वजन १० क्विंटल आणि दुसऱ्याचे वजन ५ क्विंटल आहे तर त्यांच्यातील ग्रॅव्हिटेशनल फोर्स हा त्यांच्या वजनांच्या गुणाकाराइतक्या म्हणजे १० गुणिले ५ म्हणजेच ५०च्या अनुपातात असेल. समजा त्यांचे वजन २० क्विंटल आणि १५ क्विंटल इतके घेतले तर हाच फोर्स खूप अधिक म्हणजे २० गुणिले १५ म्हणजेच ३०० इतक्या जास्त अनुपातात वाढेल. म्हणजेच काय तर जितके दोन वस्तूंचे वजन जास्त तितके त्यांच्यातील हे गुरुत्वाकर्षण जास्त वाढते.  

समजा एक माणूस फोनवर बोलत आहे, त्याच्या तोंडातून निघालेला आवाज फोनच्या माईकमध्ये घेतला जाऊन पलीकडच्या माणसाकडे पाठवला जातो. जर आपण अगदी हळू आवाजात बोललो तर माईकमध्ये कमी आवाज जातो आणि पलीकडच्या माणसास काही स्पष्ट ऐकू येत नाही. बोलणारा माणूस जितका मोठा आवाज काढेल तितका अधिक आवाज माईकमध्ये जाईल आणि पलीकडचा माणूस तितका अधिक स्पष्टपणे तो आवाज ऐकू शकेल. तसेच तो जितका कमी आवाज काढेल तितका माइकमध्ये कमी आवाज जाईल. असेच गुरुत्वाकर्षणाचे होते. जितका मोठा आवाज तितके स्पष्ट संभाषण तसेच जितके मोठे वस्तुमान तितके अधिक गुरुत्वाकर्षण असते.
आता समजा बोलणाराने फोनचा माईक आपल्या तोंडाजवळ धरला, तर अशाही वेळी जास्तीत जास्त आवाज माइकमध्ये जातो आणि समोरच्यास अधिक चांगले ऐकू येते, पण जर समजा त्याने फोनचा माईक तोंडापासून लांब केला तर पलीकडच्यास ऐकू येणे कमी होते आणि जर समजा माईक त्याहून अधिक लांब धरला तर समोरच्यास काहीच स्पष्ट ऐकू येत नाही. हेही गुरुत्वाकर्षणात दिसते. दोन वस्तूंमधले अंतर जितके वाढते तितके त्यांच्यातील गुरुत्वाकर्षण म्हणजेच एकमेकांस आकर्षून घेण्याची शक्ती कमी होते.
तर लक्षात ठेवा की दोन वस्तूंचे जितके वजन जास्त तितके गुरुत्वाकर्षण जास्त, मात्र त्याउलट त्यांत जितके अंतर जास्त तितके गुरुत्वाकर्षण कमी. 

अगदी गणितीय भाषेत सांगायचे झाले तर दोन वस्तूंच्या वजनांचा गुणाकार जितका जास्त, तितके त्यांच्यातील गुरुत्वाकर्षण जास्त. आणि दोन्ही वस्तूंतील अंतरांचा गुणाकार जितका जास्त तितके त्यांच्यातील गुरुत्वाकर्षण कमी. आता खरेतर जसे पुण्यापासून मुंबईपर्यंतचे अंतर आणि मुंबईपासून पुण्यापर्यंतचे अंतर हे एकच आहे, त्यामुळे दोन्ही अंतराचा गुणाकार म्हणजे कोणत्याही एका अंतराचा वर्गच असतो, तसेच गुरुत्वाकर्षणात आपण वर सांगितल्याप्रमाणे दोन वस्तूंमधील अंतराचा गुणाकार न म्हणता त्याला एकाच अंतराचा वर्ग म्हणता येईल. तर मग आता आपली व्याख्या काय होते? गुरुत्वाकर्षणाचे बल (किंवा फोर्स) हे दोन त्या वस्तूंच्या वजनाच्या गुणाकाराच्या प्रमाणात वाढते तर त्या वस्तूंमधील अंतराच्या वर्गाच्या प्रमाणात घटते. हे समजून घेण्यासाठी गणिताचा आधार घ्यावा लागेल.
तर पुढे थोडे गणित आहे. खरेतर गणितांनी माझेही डोके फिरते पण त्यांच्याशिवाय काही वैज्ञानिक तत्वे सिद्ध होतच नाहीत त्यामुळे आपण अगदी सोप्या स्वरूपात ती पाहू. यातील काही इक्वेशन पाहून घाबरून जाऊ नका, असे अनेकवेळा होते की एखाद्या आर्टिकलमध्ये खूप इक्वेशन पाहून मी घाबरून जातो की हे काहीतरी जाम अवघड असेल, पण जेव्हा मी ते वाचतो तेव्हा कळते की हे नुसते दिसायला अवघड आहे, अन्यथा ये तो बाये हाथ का खेल है. इथेही तुम्हाला तसेच वाटेल. 

तर सगळ्यात आधी आपल्याला समजून घ्यावं लागेल प्रपोर्शनालिटी कॉन्स्टन्ट.

समजा एक आचारी आहे तो तंदुरी रोट्या बनवतो.  त्याला एक किलो पीठ दिले तर तो ४० रोट्या बनवतो, अर्धा किलो पीठ दिले तर तो २० बनवतो, २ किलो दिले तर ८० बनवतो, अडीच किलो दिले तर १०० बनवतो.  म्हणजेच काय तर तो बनवत असलेल्या रोट्यांची संख्या ही त्याला दिलेल्या पिठाच्या अनुपातात किंवा प्रपोर्शनमधेच असते.  म्हणजे पीठ वाढवले तर रोट्यांची संख्या वाढते. आणि पीठ कमी दिले तर रोट्यांची संख्या कमी होते.  पण हे वाढणे किंवा कमी होणे असे मोघम नाही, ते एका ठराविक प्रमाणातच आहे. म्हणजे जर आपण पिठाचे प्रमाण दुप्पट केले तर रोट्यांची संख्याही बरोबर दुप्पट होते.  पिठाचे प्रमाण निम्मे केले तर रोट्यांची संख्याही बरोबर निम्मीच होते. म्हणजेच काय तर तो बनवत असलेल्या रोट्यांची संख्या ही अगदी तंतोतंत त्याला दिलेल्या पिठाच्या अनुपातात असते. यालाच असेही म्हणतात की रोट्यांची संख्या ही पिठाच्या प्रमाणास प्रपोर्शनल आहे. जर तो आचारी पिठाचे प्रमाण जितके वाढवले त्यापेक्षा वेगळ्या प्रमाणात रोट्यांची संख्या वाढवत असेल तर मात्र रोट्यांची संख्या ही पिठाच्या अनुपातात वाढते असे म्हणता येणार नाही. म्हणजे आपण त्याला १ किलो पीठ दिले आणि त्याने ४० रोट्या बनवल्या. आणि दीड किलो पीठ दिले तेव्हा ५०च रोट्या बनवल्या तर रोट्यांच्या संख्येची वाढ ही पिठाच्या वजनाच्या अनुपातात झाली असे म्हणता येणार नाही. त्याऐवजी जर त्याने दीड किलो पिठाच्या ६० रोट्या बनवल्या तरच ही वाढ प्रपोर्शनल म्हणजेच अनुपातात झाली असे म्हणता येईल. 
जर वाढ किंवा घट ही अनुपातात होणारी म्हणजेच प्रपोर्शनल असेल तर आपल्याला प्रपोर्शनलालिटी कॉन्स्टन्ट काढता येतो. म्हणजे काय तर जर आपण त्याला चार किलो आणि ३०० ग्राम एवढे पीठ दिले (४.३ किलो) तर किती रोट्या बनतील हे कसे शोधायचे?
तर ते शोधण्यासाठी आपण पुढीलप्रमाणे इक्वेशन म्हणजे समीकरण मांडतो. 

१ kg ∝ ४० रोट्या , म्हणजेच

१ ∝ ४० 

∝ हे चिन्ह = च्या चिन्हाऐवजी घेतले आहे हे लक्षात घ्या, कारण आपण १ = ४० असे लिहिले तर ते चुकीचे ठरेल, कारण १ आणि ४० हे बरोबर म्हणजे समान असू शकत नाहीत. त्यामुळे असे लिहावे लागते की १ kg ∝ ४० रोट्या, म्हणजे १ किलो पीठ प्रपोर्शनल आहे ४० रोट्यांशी. 
तसेच २ kg ∝ ८० रोट्या, म्हणजे २ किलो पीठ प्रपोर्शनल आहे ८० रोट्यांशी. 
तर आपल्याला शोधायचे आहे की
४.३ kg मध्ये किती रोट्या मिळतील ?
हे शोधण्यासाठी मग आपल्याला मग आपल्याला १ ∝ ४० हे समीकरण = हे चिन्ह वापरून लिहावे लागेल आणि मग सोडवावे लागेल, कारण  ∝ हे चिन्ह असलेले समीकरण सोडवता येणे शक्य नाही. 
तर = असलेले समीकरण मांडण्यासाठी आपल्याला १ ∝ ४० मध्ये काहीतरी बदल करावा लागेल
तो बदल पुढीलप्रमाणे असतो.

१ ∝ ४०  म्हणजेच १ = क्ष  x ४०, 

प्रपोर्शनालिटीला म्हणजेच ∝ या चिन्हास असे क्ष या कॉन्स्टन्ट संख्येने बदलले की मग आपल्याला ∝ चे समीकरण = ने लिहिता येते. आता या क्ष ला कॉन्स्टन्ट का म्हणायचे? तर जेव्हा एक संख्या दुसरीस प्रपोर्शनल आहे असे आपण म्हणतो तेव्हा समजा १ ∝ ४०  आणि २ ∝ ८० असेल तेव्हा १ = क्ष  x ४० असते आणि २ = क्ष  x ८० असे असते. म्हणजे पहिली संख्या कितीही असो, तिच्या तुलनेत दुसरी संख्या ही क्ष पटीनेच वाढते. म्हणजे क्ष ही संख्या कायम स्थिर म्हणजे कॉन्स्टन्टच असते म्हणून तिला प्रपोर्शनालिटी कॉन्स्टन्ट असे म्हणायचे असते. हा प्रपोर्शनालिटी कॉन्स्टन्ट शोधला की मग आपल्याला एका संख्येवरून तिला प्रपोर्शनल असलेली दुसरी संख्या सहज काढता येते.  आपल्या उदाहरणात म्हणजेच १ = क्ष  x ४० सोडविले की आपल्याला क्ष ची किंमत मिळते ती अशी

  क्ष = १  / ४० = ०.०२५

हा कॉन्स्टन्ट मग पिठाच्या वजनाच्या कोणत्याही संख्येशी जुळविला की आपल्याला त्या संख्येस प्रपोर्शनात असलेली रोट्यांची दुसरी संख्या मिळते.
उदाहरणार्थ ३ किलो पिठाच्या किती रोट्या बनतील? हे आपण १ किलोच्या ४०, दोन किलोच्या ८० म्हणजेच तीन किलोच्या ४० + ८० = १२० असे करून शोधू शकतो, तेच प्रपोर्शनालिटी कॉन्स्टन्ट वापरून कसे काढता येते ते पहा.

३ kg पीठ = क्ष  x किती रोट्या बनतील ती संख्या. 

म्हणजेच

३ / क्ष = किती रोट्या बनतील ती संख्या 

आपण वर शोधले आहे की क्ष हा ०.०२५ इतका आहे. म्हणूनच

३ / ०.०२५ = किती रोट्या बनतील ती संख्या = १२०

मग अशाच प्रकारे ४.३ किलो पिठाच्या बनतील

४.३ / ०.०२५ = १७२ रोट्या. 

हे झाले प्रपोर्शनली वाढण्याच्या उदाहरणाचे. अनेक वेळा दोन गोष्टी या एकमेकांच्या अनुपातात म्हणजे प्रपोर्शनमध्ये कमी होत असतात. म्हणजे एक संख्या वाढली की दुसरी तिच्या अनुपातात वाढण्याऐवजी कमी होते. अशा दोन संख्यांना इन्व्हर्सली प्रपोर्शनल असे म्हणतात. 
म्हणजे कसे? तर समजा की एक २००० लिटरची पाण्याची टाकी आहे आणि तिचा नळ हलकासा उघडा आहे. तर ती टाकी एकदा भरल्यावर समजा एक तासानंतर तिच्यात १००० लिटर पाणी होते, २ तासांनंतर तिच्यात ५०० लिटर पाणी उरले, ४ तासानंतर २५० लिटर पाणी उरले, तर आपल्याला असे लक्षात येईल की जसे जसे टाइम वाढला तसे तसे टाकीतले पाणी त्या अनुपातात कमी झाले. म्हणजे पाण्याचे प्रमाण हे टाइमशी इन्व्हर्सली प्रपोर्शनल आहे. हेच गणितात पुढीलप्रमाणे मांडले जाते.

पाण्याचे प्रमाण ∝ १ / टाइम

(लक्षात घ्या की जेव्हा दोन वस्तू प्रपोर्शनल होत्या तेव्हा दुसरी संख्या (रोट्यांची) ही ∝ या चिन्हापुढे numerator म्हणजे अंशस्थानी होती, मात्र जेव्हा दोन वस्तू इन्व्हर्सली प्रपोर्शनल असतात तेव्हा दुसरी संख्या (म्हणजे इथे टाकीत उरलेले पाणी) ही denominator म्हणजेच भाजक स्थानी येते.) 
तर 

पाण्याचे प्रमाण ∝ १ / टाइम

इथेही ∝ ऐवजी = असलेले इक्वेशन मांडण्यासाठी एक कॉन्स्टन्ट "य" घ्यावा लागेल त्यामुळे इक्वेशन होईल 

पाण्याचे प्रमाण = १ x य / टाइम   

इथे "य" हा १००० इतका आहे. म्हणजे टाइम कितीही घेतला तरी य = १००० हाच राहतो आणि त्यावरून आपल्याला टाकीत कोणत्या वेळी किती पाणी उरलेले असेल ते कळते.
उदाहरणार्थ जर आपणांस साडेतीन तासानंतर किती पाणी उरले हे पाहायचे असेल तर वरचे इक्वेशन होईल

उरलेले पाण्याचे प्रमाण = १ x य / ३.५

य हा १००० आहे हे आपल्याला माहीत आहे. म्हणून

 उरलेले पाण्याचे प्रमाण = १ x १००० / ३.५ = २८६

म्हणजेच साडेतीन तासानंतर टाकीत २८६ लिटर पाणी उरलेले असेल.
इथे अजून एक गोष्ट लक्षात घ्या की दोन संख्या प्रपोर्शनल असो की इन्व्हर्सली प्रपोर्शनल, त्यांचा प्रपोर्शनालिटी कॉन्स्टन्ट हा स्थिरच राहतो. अशावेळी ते दोन कॉन्स्टन्ट वेगवेगळे असले तरी त्यांचा गुणाकार हाही एक कॉन्स्टंटच असतो. म्हणजे समजा वरील दोन्ही उदाहरणे एकत्र करायची झाली तर एकाचा प्रपोर्शनालिटी कॉन्स्टन्ट आणि दुसऱ्याचा इन्व्हर्सली प्रपोर्शनालिटी कॉन्स्टन्ट म्हणजे ०.०२५ x १००० = २५ हाही एक कॉन्स्टंटच असेल. मला वाटते आता प्रपोर्शनालिटी कॉन्स्टन्ट म्हणजे नेमकी काय भानगड आहे ते कळले असेल. 

इतक्या गणितानंतर आता आपण परत न्यूटनच्या सिद्धांताकडे येऊ.

सिद्धांत समजण्यासाठी आपण परत तेच आधीचे उदाहरण घेऊ. समजा स्पेसमध्ये दोन मोठे दगड आहेत.  एकाचे वजन आपण  १० क्विंटल म्हणजेच M आहे असे समजू, तर दुसऱ्याचे वजन हे ५ क्विंटल म्हणजेच m आहे असे समजू. जर या दोन दगडांतील अंतर १०० सेंटीमीटर म्हणजेच R इतके असेल तर न्यूटन सांगतो की  त्या दोन दगडांतील गुरुत्वाकर्षण फोर्स F हा त्या दोन दगडांच्या वजनांच्या गुणाकाराला प्रपोर्शनल तर त्यांच्यातील अंतराच्या वर्गाला इन्व्हर्सली प्रपोर्शनल असेल.

म्हणजेच

F  ∝ M*m किंवा F= a*M*m 

आणि 

F ∝ 1 / R*R किंवा F= b*1 / (R*R)

(या ठिकाणी इंग्रजी अल्फाबेट्स X आणि गुणिलेंचे चिन्ह x यांच्यात कन्फ्युजन होऊ नये म्हणून गुणिले म्हणजेच x या चिन्हाऐवजी * हे चिन्ह घेतले आहे मात्र त्याला गुणिले म्हणजेच x असेच समजावे)

इथे लक्षात घ्या की पहिल्या इक्वेशनचा प्रपोर्शनालिटी कॉन्स्टन्ट हा a आहे तर दुसऱ्या इक्वेशनचा प्रपोर्शनालिटी कॉन्स्टन्ट हा b  आहे. 
हे दोन्ही इक्वेशन एकत्र केले तर आपल्याला पुढील इक्वेशन मिळते.

 

इथे दोन्ही इक्वेशनच्या प्रपोर्शनीलिटी कॉन्स्टंटचाही गुणाकार केला असून ते a*b = G असे घेतले आहे. यात G या प्रपोर्शनालिटी कॉन्स्टंटला न्यूटनने नाव दिले युनिवर्सल ग्रॅव्हिटेशनल कॉन्स्टन्ट. न्यूटनचे हे ग्राविटीचे इक्वेशन केवळ पृथ्वीवरच नव्हे तर संपूर्ण विश्वास लागू होते. इथे आपले बहुतांश लोक सरकारचेच नाही तर देवाधर्माचे कायदे आणि नियमसुद्धा नीट पाळत नाहीत, मात्र या विश्वातला प्रत्येक कण अन कण मात्र न्यूटनचा हा नियम पाळतोच पाळतो. म्हणजे न्यूटन हा कोणत्याही सरकारपेक्षा अथवा अगदी देवापेक्षाही मोठा खिलाडी आहे कारण कुणी कितीही कट्टर आस्तिक असो वा नास्तिक असो, चांगला असो की वाईट असो, अन्याय सहन करणारा असो की विद्रोही, हुशार असो की ठार वेडा, तो प्रत्येकजण न्यूटनचा नियम निमूटपणे पाळतोच पाळतो. 

हे इक्वेशन सोडवले तर
त्या दोन दगडांतील गुरुत्वीय बल पुढीलप्रमाणे असेल

 F= G*१०क्वी *५क्वी  / (१००सेमी *१०० सेमी) 

समजून घेण्यासाठी आपण यातील क्विंटल आणि सेमी ही एकके बाजूला ठेवू
तर उत्तर होईल

F= G*१०*५  / (१००*१००) 

म्हणजेच 

F = G * ५० / १००००

न्यूटनच्या याच इक्वेशनचा वापर करून लोकांनी पृथ्वीचे वजन शोधण्याचा प्रयत्न केला. कसा ते पुढील भागात पाहू.  

 ........................................................................................

 
पार्ट २:  जी (G) ललचाये, रहा ना जाये.!!

तर मित्रांनो न्यूटनने त्याच्या सिद्धांताचे (गुरुत्वीय फोर्स F= GMm / R2) हे समीकरण तर अगदी परफेक्ट शोधले, मात्र त्याला त्यातील युनिवर्सल प्रपोर्शनालिटी कॉन्स्टन्ट म्हणजेच G ची किंमत शोधून मोजता आली नाही. पण ती कशी शोधता येईल हे मात्र त्याला माहीत होते. (हे म्हणजे असे झाले की सैराटमधल्या लंगड्याला स्वतःला मुलगी पटत नाही, मात्र ती कशी पटवायची हे त्याला चांगले ठाऊक असते)

न्यूटनला हे माहीत होते की G हा इतका छोटा अंक आहे की तो मोजता येणे खूप अवघड आहे, कारण त्यासाठी खूप प्रचंड वस्तुमान असलेली वस्तू घेऊन तिच्या गुरुत्वाकर्षणाने दुसऱ्या वस्तूवर होणाऱ्या परिणामास मोजावे लागेल तेव्हा G ची किंमत मिळेल. आता मोठी वस्तू म्हणजे काय? तर न्यूटन म्हणाला की एखादा खूप मोठा पर्वत घ्यावा लागेल, आणि त्या पर्वताजवळ एखादी दुसरी वस्तू नेऊन ती पर्वताकडे किती खेचली जाते ते पहावे लागेल, आणि मग ती किती खेचली गेली त्यावरून आपल्याला G काढता येईल.

यासाठी मग न्यूटनने पर्वताचे वजन, आणि एखाद्या पर्वताकडे दुसरी वस्तू किती खेचली जाऊ शकेल ते अंदाजे घेऊन, आणि समीकरणे मांडून G साधारण किती असेल ते शोधण्याचा प्रयत्न केला तेव्हा त्याला असे लक्षात आले की G ही इतकी छोटी किंमत किंवा संख्या आहे की पर्वताएवढी वस्तू घेऊनही ती मोजता येणार नाही. तो संत तुकारामांचा एक अभंग आहे ना ज्यात अशीच एक प्रचिती आहे तो अभंग म्हणजे सुख G-वापाडे, आणि M पर्वताएवढे.!! आता संत तुकारामांचा उल्लेख आलाच आहे तर हेही सांगतो की न्यूटन आणि संत तुकाराम हे दोघेही या पृथ्वीतलावर जवळ जवळ आठ वर्षे एकाच वेळी जीवन जगत होते. संत तुकाराम यांचा मृत्यू झाला तेव्हा न्यूटन ८ वर्षांचा होता. 

तर स्वतः न्यूटनलाच G मोजणे हे अशक्य वाटत होते त्यामुळे न्यूटननंतर जवळ जवळ १०० वर्षांपर्यंत कुणीही G मोजू शकला नाही. मात्र अनेकांनी प्रयत्न जरूर केले.

नाही म्हणायला बुगे (Bouguer)  या शास्त्रज्ञाने असा काहीसा प्रयत्न पहिल्यांदा केला होता तो १७४० मध्ये. हा प्रयोग बुगेने G शोधण्यासाठी नव्हे तर पृथ्वीची घनता म्हणजे डेन्सिटी मोजण्यासाठी केला होता. त्याने समुद्रसपाटीवर पेन्डूलमच्या साहाय्याने पृथ्वीच्या गुरुत्वीय बलाचे काही मोजमाप केले आणि मग एका उंच पठारावरही असेच काही मोजमाप केले मात्र त्याचे जे वैल्यू आले ते खूपच जास्त होते.

त्यांनतर अजून एक मोठा आणि बऱ्याच अंशी सक्सेसफुल झालेला एक प्रयोग करण्यात आला, त्याला म्हणतात शिहेलिओन एक्सपिरिमेंट. शिहेलिओन हा स्कॉटलंडमधील एक पर्वत आहे. तो पर्वत हा प्रयोग करण्यासाठी अतिशय योग्य होता कारण त्याचा आकार सिमेट्रिकल तर होताच आणि वरून त्याच्या आजूबाजूला बऱ्याच अंतरापर्यंत दुसरा काही डिस्टर्बन्सही नव्हता. एका मोठ्या भूभागाच्या मध्यभागी हा पर्वत होता. हा प्रयोगही खरेतर बुगेच्या प्रयोगाप्रमाणे पृथ्वीची घनता आणि मग पर्यायाने पृथ्वीचे वजन शोधण्यासाठीच होता आणि या प्रयोगातही पेंड्युलमचाच वापर करण्यात आला होता. आता अशाप्रकारे पर्वताजवळ पेंड्युलम वापरून पृथ्वीची घनता कशी शोधता येईल ते पाहू.

खाली दिलेली आकृती पहा. समजा आपण एक क्रिकेट एक बॉल घेतला, आणि तो पीचच्या बरोबर मध्ये जमिनीपासून थोडा वर टांगून ठेवला.  या बॉलपासून पिचच्या पृष्ठभागाला काटकोनात जाईल अशी एक रेघ आपण आकाशात आखली तर ती खूप उंचीपर्यंत जाईल.  जर समजा आकाशात ती रेघ एखाद्या ताऱ्यास जाऊन टेकली, तर त्या ताऱ्यास आपण आपल्या बॉलचा शीर्षबिंदू (किंवा इंग्रजीत झेनीथ) असे म्हणू.आता हे झेनिथ फिनीथ कशासाठी? तर जेव्हा आपल्याला पृथ्वीवर असे काही मोजमाप करायचे असते तेव्हा पृथ्वीबाहेर एखादा संदर्भ बिंदू घ्यावा लागतो. पृथ्वीचे गुरुत्वाकर्षण मोजण्यासाठी पृथीवरचाच संदर्भबिंदू घेता येणार नाही. आताच्या काळात उपग्रहांच्या मदतीने आपण हे मोजू शकू पण उपग्रह हा देखील पृथ्वीच्या बाहेरचाच तर संदर्भ बिंदू आहे. 

थोडक्यात काय तर बॉलचा (किंवा पृथ्वीवरील कोणत्याही वस्तूचा) शीर्षबिंदू म्हणजे आकाशातला असा एक बिंदू जिथे पृथ्वीच्या एगझॅक्ट सेंटरमधून (म्हणजे पृथ्वीच्या केंद्रबिंदूतून) निघालेली एखादी सरळ रेषा बरोबर त्या बॉलच्या सेंटरमधून घेऊन अजून वर आकाशात वाढवत नेली तर एगझॅक्टली त्या बिंदूला जाऊन मिळेल. मात्र जर आपण हा बॉल उचलून थोडा लांब दुसऱ्या जागी नेऊन ठेवला, तर मात्र रेषा पृथ्वीच्या केंद्रबिंदूतून निघून बॉलच्या सेंटरमधून जाऊन पुढे वाढवत नेली तर ती अशावेळी बॉलच्या आपण आधी ठरविलेल्या शीर्षबिंदूपर्यंत पोचणार नाही. आणि ती आकृतीत दाखविलेल्या निळ्या रेषेप्रमाणे त्या जुन्या शीर्षबिंदूशी बनलेल्या रेषेशी एक काहीतरी θ एवढा अँगल बनवेल.  

अशाच प्रकारे पृथ्वीच्या एका मोठया सपाट पृष्ठभागावर जिथे पृथ्वीच्या सपाटीमुळे गुरुत्वाकर्षणाचा फोर्स सर्व बाजूंनी समान असेल तिथे जेव्हा आपण एक प्लम्ब बॉब (पेंड्युलमचाच एक प्रकार) टांगतो तेव्हा तो अगदी सरळ रेषेत पृथ्वीच्या सेंटरकडे निर्देश करून उभा राहतो, आणि प्लम्ब बॉबची दोरी ही पृथ्वीचे केंद्र आणि प्लम्ब बॉबचा आकाशातील शीर्षबिंदू यांना सरळ रेषेत जोडते. (प्लम्ब बॉब म्हणजे आपल्याकडे गवंडी लोक भिंत तिरकी किंवा कलती झाली नाही ना हे बघण्यासाठी वापरतात तो ओळंबा होय.) मात्र हाच प्लम्ब बॉब म्हणजेच ओळंबा आपण जेव्हा एका बाजूला मोठा पर्वत असलेल्या ठिकाणी टांगतो तेव्हा मात्र तो अगदी सरळ रेषेत उभा न राहता गुरुत्वाकर्षणामुळे थोडासा त्या पर्वताकडे खेचला जातो, आणि तो तसा खेचला गेल्यामुळे मग तो आपल्या आकाशातील शीर्षबिंदूपासून काहीसा ढळतो आणि शीर्षबिंदूच्या रेषेशी एक नवा अँगल बनवतो. हा ओळंबा पर्वताच्या गुरुत्वाकर्षणाने खेचला गेल्याने शीर्षबिंदूच्या रेषेपासून ज्या अँगलने सरकला त्या अँगलवरून पर्वताचे गुरुत्वाकर्षण किती असेल ते मोजता येते.

या प्रयोगात मग सगळ्यात आधी पर्वताचा प्रभाव जाणवणार नाही अशा लांब अंतरावर एका ओळंब्याचा शीर्षबिंदू म्हणजे झेनिथ तारा ठरविण्यात आला. जर तो ओळंबा पर्वताच्या जवळ नेला तर तो ओळंबा त्या पर्वताच्या गुरुत्वाकर्षणाशिवाय त्याच्या झेनिथशी कोणता अँगल बनवेल ते गणिताने शोधण्यात आले आणि मग अशाप्रकारे त्या ठिकाणी पर्वत नसता तर झेनिथशी ओळंब्याने किती अँगल केला असता हे मोजण्यात आले.  त्यानंतर मग प्रत्यक्ष पर्वताजवळ तो ओळंबा टांगून प्रत्यक्ष झेनिथ ताऱ्याशी त्याचा किती अँगल बनतो ते पाहण्यात आले. आणि अर्थातच पर्वताच्या गुरुत्वाकर्षणामुळे खेचला गेल्याने ओळंब्याचा अँगल थेरॉटिकली मोजून (म्हणजे पर्वत नसता तर किती आला असता तेवढा) आलेल्या अँगलपेक्षा मोठा आढळून आला. म्हणजे पर्वताने गुरुत्वाकर्षणाने स्वतःकडे ओढून ओळंब्याला अपेक्षेपेक्षा अधिक तिरके करून त्याचा झेनिथ अँगल वाढवला होता. तो अधिकचा अँगल म्हणजेच पुढील आकृतीत दाखविल्याप्रमाणे आलेला θ होय. 

 

आता या अँगलवरून पर्वताचे गुरुत्वाकर्षण कसे काढायचे याचे एक सोपे डेरीव्हेशन आहे पण आपण ते इथे टाळूयात कारण आपला खरा एक्सपिरिमेंट हा नव्हे तर पुढे येणारा आहे. फक्त एवढे लक्षात ठेवा की जर आपण पर्वताचे क्षेत्रफळ आणि घनता मोजली आणि पृथ्वीचे क्षेत्रफळ आणि त्रिज्या या आधीच माहीत असलेल्या किंमती फॉर्म्युल्यात टाकल्या तर पृथ्वीची घनता म्हणजेच पर्यायाने वजन कॅल्क्युलेट करता येते. त्यासाठी पुढील फॉर्म्युला वापरला जातो.

 शिहेलिओन पर्वताचे क्षेत्रफळ आणि घनता मोजण्यासाठी मग कांटूर डायग्रॅम किंवा कांटूर ग्राफ ही नवी पद्धत शोधण्यात आली जी आजही अनेक ठिकाणी वापरण्यात येते. मात्र कितीही केले तरी फक्त पृष्ठभागाचे वजन अथवा क्षेत्रफळ मोजून आपण संपूर्ण पर्वताचे क्षेत्रफळ अथवा घनता एक्यूरेट काढू शकत नाही. कारण पर्वताच्या सरफेसच्या खूप आत अधिक घनता असलेला भाग असू शकतो, एवढेच नाही तर जमिनीखाली असलेला पर्वताचा भाग आपल्याला वाटतो त्याहून खूप मोठा किंवा खूप घनता असलेला असू शकतो. आणि कृष्ण, रावण व हनुमान यांच्यासारखे पर्वत उचलू शकणारे लोक आजकाल मिळत नाहीत त्यामुळे आपण पर्वताचे नेमके क्षेत्रफळ आणि घनता काढू शकत नाही. अर्थातच त्यामुळे शिहेलिओन एक्सपिरिमेंटचे रिझल्ट काहीसे चुकीचे आले. पण तरीही ते त्या वेळेपर्यंत काढण्यात आलेले खऱ्या व्हॅल्यूच्या सर्वात जवळ जाणारे रिझल्ट होते.  

शिहेलिओन प्रयोग अयशस्वी झाला असे मात्र अजिबात म्हणता येणार नाही. या प्रयोगात आपल्याला अनेक कंट्रोल न करता येणाऱ्या अथवा मोजता न येऊ शकणाऱ्या व्हॅल्यू वापराव्या लागत असल्याने कोणत्याही नैसर्गिक वस्तूंच्या वस्तुमानाचा उपयोग करून आपल्याला नेमका G  शोधता येणार नाही हे लक्षात आले. मग त्यासाठी मानवनिर्मित वजनी वस्तू वापरून G काढता येईल का असा विचार लोकांनी करायला सुरुवात केली. 

तिसऱ्या भागात आपण आपला प्रत्यक्ष प्रयोग काय होता ते बघू 

त्यापूर्वी आपल्याला पूर्वतयारी म्हणून टॉर्क म्हणजे काय ते पहावे लागेल.

लहानपणी कोल्ड्रिंकच्या बाटलीचे पत्र्याचे झाकण सपाट करून, त्याला बरोबर मध्ये दोन होल पाडून त्या दोन्ही होलमधून एका दोऱ्याची दोन्ही टोके घालून टोकांची गाठ मारून दोऱ्याचा एक लूप आम्ही बनवायचो. आणि मग दोन हातांच्या दोन बोटांत त्या लुपांची टोके अडकवून आधी थोडे गोलाकार हेलकावुन दोऱ्याला एकदा पीळ बसला की मग फक्त आळीपाळीने दोन्ही बोटे लांब ओढून आणि ढिली सोडून भिंगरी फिरवायचो. दोरी ढिली सोडली की दोरीला पीळ बसायचा आणि बाहेर ओढली की तो पीळ सुटल्यामुळे भिंगरी अजून फिरायची. मग पुन्हा ढिली सोडली की पुन्हा पीळ बसायचा. असे आम्ही बोटे दुखेस्तोवर खेळतच बसायचो. तो जो दोरीला बसलेला पीळ असायचा ना? तो सुटल्यामुळे जे बल किंवा फोर्स निर्माण व्हायचा त्यामुळे भिंगरी गोल फिरायची. तो फोर्स म्हणजे दोरीचा टॉर्क होय. थोडक्यात काय तर टॉर्क म्हणजे असे बल ज्यामुळे कोणतीही वस्तू एका अक्षाभोवती वर्तुळाकार फिरते. दोरीला बसलेला पीळ म्हणजे दोरीचे टॉर्शन (torsion) होय, तर हे टॉर्शन सुटण्यासाठी दोरीकडून जे बल लावले जाते ते म्हणजे टॉर्क होय. एवढे कळले की आपला पुढचा प्रयोग सोपा होईल.

पार्ट ३:  तोलुनी मज द्यावे पृथ्वीवजन हे

लंडनमध्ये एका भागातले लोक एका घराकडे किंबहुना त्या घरामागे असलेल्या एका छोट्याशा खोलीकडे बोट दाखवून आपल्या मुलांना सांगतात की बेटा हे बघ हेच ते घर आहे जिथे आपल्या पृथ्वीचे वजन करण्यात आले.

ते घर एका मोठ्या विचित्र माणसाचे होते. हा प्रचंड एकलकोंडा माणूस होता. त्याला लोकांत जायला आजिबात आवडत नसे. आणि स्त्रियांची तर त्याला इतकी एलर्जी होती की तो त्याच्या स्त्री नोकरांशी बोलत देखील नसे, जर त्याला त्या स्त्रियांस काही काम सांगायचे असेल तर तो चिट्ठीवर लिहून ठेवी आणि मग त्या स्त्रिया त्याने काय लिहिले आहे ते वाचून त्याप्रमाणे ते काम करीत. त्याच्या रूममधून घराबाहेर पडायचे झाले तर घरात असलेली एखादी स्त्री उगीच दिसेल आणि तिच्याशी काही संवाद करावा लागेल म्हणून त्याने आपल्या खोलीच्या मागच्या बाजूने एक रस्ता बनवून घेतला होता जेणेकरून तो परस्पर कोणत्याही स्त्रीला न पाहता घराबाहेर पडू शकेल. लोकांनी आपल्याकडे आपली पुस्तके मागू नयेत म्हणून या पठ्ठयाने काय करावे? तर साहेबांनी आपली लायब्ररी आपल्या घरापासून ४-५ मैल दूरवर बनवली होती, जेणेकरून कुणी एखादे पुस्तक मागितलेच तर ते खूप दूर आहे असे सांगून त्यास टाळता येईल. 

१० ऑक्टोबर १७३१ ला हा माणूस जन्मला, म्हणजे त्याची बर्थ एनिवर्सरी माझ्या बर्थडेच्या दुसऱ्याच दिवशी येते. (उगाच आपली काहीतरी तुलना करून भाव खाऊ बघायचा) त्यानेच हायड्रोजन वायूचा शोध लावला. मात्र त्याच्या लाजरेपणामुळे त्याने अनेक शोधांचे श्रेय गमावले. जसे की त्याने त्याचे शोध प्रसिद्ध म्हणजेच प्रकाशित केले असते तर आज कुलंबचा लॉ त्याच्या नावावर असता. 

तर अशा या अतर्क्य माणसाचे नाव होते हेनरी कॅव्हेंडिश. 

जगात सर्वात आधी पृथ्वीचे वजन मोजले ते याच माणसाने. अर्थातच पृथ्वीचा व्यास आणि परीघ हे फार आधीच शोधण्यात आले होते (आपल्या आर्यभटाने ते अचूक मोजले होते हे तर मी सांगितले आहेच) त्याचा उपयोग करून पृथ्वीचे वजन शोधायचे होते. पृथ्वीचे वजन तराजूच्या साहाय्याने करता येणार नव्हतेच त्यामुळे 'जब घी सिधी उंगली से ना निकले तो उंगली टेढी करनी पडती है' या उक्तीप्रमाणे काहीतरी वेगळा मार्ग शोधावा लागणार होता. 

त्यासाठी पृथ्वीचे वजन ज्यात अंतर्भूत करता येऊ शकेल असे काहीतरी सूक्त वापरून त्या सूक्तातील इतर गोष्टी शोधून त्यावरून पृथ्वीचे वजन शोधणे ही बेसिक आयडिया होती. आणि हे सूक्त म्हणजे न्यूटनचा ग्राविटेशनचा सिद्धांत होय. शिहेलिओन प्रयोगात तसा प्रयत्न करून पाहण्यात आला पण ते पर्वताचे अचूक वजन मोजता न आल्यामुळे तितकेसे जमले नाही. "मेरे नयना सावन भादो, फिर भी मेरा मन प्यासा" तसेच न्यूटनच्या सुक्ताने पृथ्वीचे वजन काढता येईल हे सर्वांना कळत होते पण त्यासाठी नेमके काय करावे तेच कुणालाही समजत नव्हते. मग अर्थातच आपल्या प्रयोगांत नेहमी येतो तसा फटा पोस्टर आणि बाहेर आला एक हिरो, तो म्हणजे कॅव्हेंडिश.

पर्वताचा वापर करावा हे तर न्यूटननेच सांगितले होते, पण त्याने काही पृथ्वीचे वजन मोजणे जमत नव्हते मग त्याहून वेगळी काय शक्कल लढवावी? पहा बरे काही सुचतंय का? नाही ना? कसे सुचेल? अहो आपण भाजी घ्यायला गेलो तरी भाजीवाला वजनात काटा मारतो हे आपल्या धड लक्षात येत नाही तिथे पृथ्वीच्या वजनात कुठे डोके घालताय? 

असो तर जॉन मिशेल नावाचा एक पठ्ठया होता त्याला एक आयडीया सुचली आणि त्याने पृथ्वीचे वजन मोजण्यासाठी एक तराजू तयार केला. तराजू? पृथ्वीचे वजन मोजण्यासाठी तराजू? (शोलेमध्ये असाच एक डायलॉग आहे. पिस्तोल? हमारी जेल में पिस्तोल? असे आश्चर्यमिश्रित किंचाळीचे डायलॉग मारून तो अंग्रेजोंके जमाने का जेलर त्याच्या टेबलावर असलेला पृथ्वीचा गोल खाली पाडत असतो. आणि इथे या प्रयोगात खऱ्या पृथ्वीच्या गोलाचे वजन केले जातेय. व्हाट्टे योगायोग.!!) होय तराजूच. त्या तराजूचे नाव होते टॉर्शन बॅलन्स. पण दुर्दैवाने जॉनला या तराजूने पृथ्वी तोलता आली नाही. त्याच्या मृत्यूनंतर हा तराजू दिला गेला कॅव्हेंडिशला आणि तो तराजू कॅव्हेंडिशला दिला गेल्यानेच मला हे लिहिण्याची आणि तुम्हाला वाचण्याची संधी मिळालीय. 

कॅव्हेंडिशने या टॉर्शन बॅलन्समध्ये योग्य त्या सुधारणा केल्या त्याचे डिझाईन अधिक सुयोग्य बनवले आणि मग सुरु केला आपला कॅव्हेंडिश प्रयोग.

हा प्रयोग समजून घेण्यासाठी आपल्याला या बॅलन्सचे डिजाईन आणि त्याचे तत्व थोडक्यात समजून घ्यावे लागेल. त्यासाठी खाली दिलेली आकृती पहा. हाच आहे कॅव्हेंडिशचा तराजू.

या टॉर्शन बॅलन्समध्ये दोन सामान आकाराचे मोठे शिसे या धातूचे गोळे घेतले गेले. शिसे या धातूचे वजन लोखंडापेक्षा जवळजवळ दुप्पट असते. त्यामुळे अर्थातच त्याचे गुरुत्वाकर्षणही जास्त असणार म्हणून शिशाचे गोळे घेतले. आपण या दोन मोठ्या समान गोळ्यांना म्हणू मोटू-१ आणि मोटू-२. (दोन्ही मोटुंचा व्यास म्हणजे डायमीटर हा प्रत्येकी एक फूट आणि वजन हे प्रत्येकी १५८ किलो होते.) हे दोन्ही गोळे हिरव्या रंगाने दाखविलेल्या एका रॉडवर आकृतीप्रमाणे समान उंचीवर टांगण्यात आले होते. त्यानंतर शिशाचेच दोन समान आकाराचे परंतु छोटे गोळे घेण्यात आले, त्यांना आपण पतलू-१ आणि पतलू-२ असे म्हणूयात (दोन्ही पतलूंचा प्रत्येकी व्यास हा ५ सेंटीमीटर तर वजन हे प्रत्येकी पाऊण (०. ७३ kg) किलो इतके होते). हे दोन छोटे गोळे आकृतीत दाखविल्याप्रमाणे त्या दोन मोठ्या गोळ्यांनाच समांतर पातळीवर एका दुसऱ्या रॉडद्वारे अशाप्रकारे टांगण्यात आले की सर्व चारही गोळ्यांचे मध्यबिंदू एकाच प्रतलात म्हणजेच एकाच सरळ रेषेत येतील. (आणि हो आकृतीत जरी तसे दिसत नसले तरी दोन्ही मोटुन्ना जोडणारा रॉड आणि दोन्ही पतलुंना जोडणारा रॉड हे दोन्ही रॉड सामान लांबीचेच म्हणजे १.८६ मीटर इतक्या लांबीचे होते बरे का). दोन पतलुंना टांगणारी जी तार आहे तिच्यावर एक आरसा लावलेला होता, या आरशाचे काय काम असेल? तुम्हाला कल्पनाही येणार नाही पण त्या आरशाचे काम एकच होते ते म्हणजे कॅव्हेंडिशचे केस खूप लांब आणि दाट होते. तो दिवसभर एकटाच प्रयोगाची निरीक्षणे नोंदवित बसलेला असे तेव्हा मधून मधून आरशात पाहून केस विंचरता यावेत म्हणून त्याने हा आरसा लावला होता.

हा संपूर्ण तराजू मग एका बंदिस्त खोलीत ठेवला गेला जेणेकरून हवेच्या थोड्याही हालचालीचा प्रयोगाच्या निष्कर्षांवर परिणाम होऊ नये. हा बॅलन्स अशाप्रकारे तयार करून सेटअप झाल्यावर मग आधी दोन्ही मोटू आणि दोन्ही पतलू हे एकमेकांना क्रॉस होतील असे म्हणजे दोन्ही रॉड एकमेकांस + असण्याच्या स्थितीत ठेवले. आणि मग हळूहळू दोन्ही मोटुन्ना एका बाजूने फिरवत दोन्ही पतलुंच्या जवळ नेले. दोन्ही रॉड क्रॉस असल्याने मधल्या तारेच्या बाजूने फिरवल्यावर एक मोटू एका बाजूने पहिल्या पतलूच्या तर दुसरा मोटू त्याच्या विरुद्ध बाजूने दुसऱ्या पतलूच्या जवळ जाऊ लागला. अशा प्रकारे हळू हळू दोन्ही मोटू दोन्ही बाजूंनी जेव्हा गोलाकार फिरवून दोन्ही पतलुंकडे नेले तेव्हा दोघांमधील अंतर म्हणजेच या सीरिजच्या पार्ट १ मध्ये सांगितलेल्या फॉर्मुल्यातील R हे अंतर जसे जसे कमी होत गेले तसे तसे त्यांच्यातील गुरुत्वाकर्षण वाढत गेले. गुरुत्वाकर्षणाचा पहील्या भागात सांगितलेला नियम आठवतोय ना? दोन वस्तूंतील अंतर जितके जास्त तितके गुरुत्वाकर्षण कमी आणि दोहोंतले अंतर जितके कमी तितके गुरुत्वाकर्षण जास्त.

तर अशा प्रकारे एका ठराविक अँगलपर्यंत वळविल्यानंतर एके क्षणी आपोआप दोन्ही पतलू हे दोन्ही मोटुंकडे गुरुत्वाकर्षणामुळे ओढले गेले. बरोबर या स्थितीत मोटुन्ना स्थिर ठेवले की हळूहळू पतलू ज्या तारेने टांगले गेले होते त्या तारेस हलकासा पीळ घालत मोटुंकडे आकर्षिले जात. आणि हो मघाशी तो आरसा का लावण्यात आला होता त्याचे मी सांगितलेले कारण तुम्हाला खरे वाटले की काय? हा हा हा किती तुम्ही भोळे. अरे तो आरसा यासाठी लावला होता की त्या आरश्यावर एक प्रकाश बीम सोडला जाई आणि जेव्हा दोन्ही पतलू गुरुत्वाकर्षणामुळे मोटुंकडेओढले जात तेव्हा हा आरसाही हलकासा गोल फिरे आणि मग त्या आरशावर टाकलेले ते प्रकाशाचे बीम एके बाजूला रिफ्लेक्ट होऊन आरसा म्हणजेच तार नेमकी किती फिरलीय ते कळे.

म्हणजे आधी पतलू गोळे हे एका पोजीशनला स्थिर ठेवले जात. त्यानंतर मग मोटू गोळे किती अंतरापर्यंत जवळ आणल्यावर पतलुंना गुरुत्वाकर्षणाने आकर्षित करतात हे कळल्यावर मोटू गोळे गोल फिरवत बरोबर तेवढ्या अंतरापर्यंत आणून स्थिर केले जात. या अंतरावर मोटुन्ना स्थिर केल्यावर मग गुरुत्वाकर्षणामुळे हळूहळू आधी स्थिर पोजीशनला ठेवलेले पतलू गोळे आपोआप मोटुंकडे आकर्षित होत. पतलू हे नेमके किती अँगलने मोटुंकडे सरकलेत हे पतलुंवर लावलेल्या आरशावरून बाजूला रिफ्लेक्ट झालेल्या प्रकाश बीमचा रिफ्लेक्टेड अँगल मोजून कळे. हे नेमके कसे होते ते खालील एनिमेशन पाहून कळेल. (एनिमेशनमध्ये सोयीसाठी मोटू गोळे वरून टांगलेले दाखविण्याऐवजी खालून सपोर्ट दिलेले दाखविले आहेत. दोन्ही केसेसमध्ये एकच इफेक्ट मिळतो) या एनिमेशनमध्ये लाल रंगाने दाखविलेला प्रकाश बीम हा पतलू गोळे गुरुत्वाकर्षणामुळे मोटुंकडे आकर्षिले जाताच आरसा फिरल्यामुळे कसा बाजूस रिफ्लेक्ट होऊन एक अँगल बनवतो हेही बघा. 

मोटू गोळ्यांना पतलुंजवळ आणून स्थिर केल्यावर हळूहळू पतलू त्यांचेकडे सरकत. पतलुंच्या या सरकण्यामुळे ते ज्या तारेस टांगलेले होते त्या तारेस हलकासा पीळ बसे. कोणत्याही तारेला एका बाजूस फिरविल्याने पीळ बसला की ती तार त्या पीळामुळे बसलेली अढी किंवा ताण किंवा टॉर्शन हे सोडविण्याचा प्रयत्न करते आणि त्यामुळे ती तार तिला देण्यात आलेल्या पीळाच्या विरुद्ध बाजूने पीळ सुटण्यासाठी थोडा फोर्स किंवा बल लावते, आणि परत आधीच्या स्थिर जागी येऊ पाहते. यामुळेच गुरुत्वाकर्षण असले तरी पतलू गोळे थेट जाऊन मोटू गोळ्यांशी टकरत नाहीत. तार तिला बसणारा पीळ किंवा ट्विस्ट सोडविण्यासाठी पतलू गोळ्यांना परत त्यांच्या आधीच्या स्थिर जागेकडे ढकलते. मागच्या भागात सांगितल्याप्रमाणे जसा भिंगरीत दोरा त्यास पीळ बसल्यानंतर तो पीळ सोडविण्यासाठी विरुद्ध बाजूने फिरतो तसेच इथे तारही तिला बसलेला पीळ म्हणजेच ट्विस्ट सोडविण्यासाठी पीळाच्या विरुद्ध बाजूस जोर किंवा बल लावते. 

म्हणजे गुरुत्वाकर्षणाचे बल हे पंतलुंना मोटुंकडे ओढत असते तर तारेचा ट्विस्ट म्हणजेच टॉर्क हा त्यांना मोटुंपासून दूर ढकलत असतो. अशा प्रकारे मग तेरा ना मेरा अशी मांडवली करून शेवटी दोन्ही मोटू पतलू एका ठराविक अँगलला स्थिर होतात. म्हणजेच या ठराविक अँगलला गुरुत्वाकर्षणाचे बल आणि तारेचा पीळ सोडविण्याचा टॉर्क हे दोन्ही समान होतात. आपण आधीच पाहिल्याप्रमाणे फोर्स आणि टॉर्क ही दोन्ही एकाच प्रकारची परिमाणे किंवा क्वांटीटीज आहेत त्यांत फरक फक्त हा की फोर्स हा वस्तूस सरळ ढकलतो तर टॉर्क हा वास्तूस गोलाकार म्हणजेच रोटेशनल मोशनमध्ये फिरवतो. आता नेमका किती अँगलला तारेचा टॉर्क हा गुरुत्वाकर्षणाशी जुळेल म्हणजेच समान होईल ते त्या तारेच्या गुणधर्मावर अवलंबून असते. तारेच्या या गुणधर्माला टॉर्शन कोइफिशियंट असे म्हणतात. तर समजा गुरुत्वाकर्षणाचा फोर्स आणि तारेचा टॉर्क हे ज्या अँगलला समान होतात तो अँगल म्हणजे θ होय. हे खालील आकृतीत अधिक स्पष्ट करून दाखवले आहे. 

टॉर्क हा फिरण्याच्या एक्सीसपासून लावलेले बल किती अंतरावर आहे त्यावर अवलंबून असतो. आपल्या केसमध्ये फिरण्याचा एक्सीस म्हणजे जिथे तार पतलुंच्या रॉडला जोडली गेली आहे ते ठिकाण होय. कारण याच ठिकाणी तारेस ट्विस्ट मिळतो. तर या बिंदूपासून बल लावले गेलेल्या बिंदूपर्यंत म्हणजेच पतलूच्या मध्यबिंदूपर्यंत जे अंतर आहे ते अंतर म्हणजे L हे पहिल्या आकृतीत दाखविले आहेच. अशाच प्रकारे मध्यबिंदूपासून दुसऱ्याही बाजूला L इतक्याच अंतरावर पतलू-२ द्वारेही असेच बल लावले जात असल्यामुळे एक्सीस बिंदूपासून बल लावण्याच्या बिंदूपर्यंतच्या अंतराला आपण या दोन्ही अंतराच्या बेरजेइतके म्हणजेच २L इतके घेऊ शकतो.

तर या θ या अँगलला गुरुत्वाकर्षण फोर्स आणि तारेचा रिस्टोरिंग टॉर्क हे समान होतात हे कळले ना? मग यावरून आपण खालीलप्रमाणे समीकरण मांडू शकतो.  

यासाठी दोन्ही मोटूंचे वजन हे M आहे (कॅपिटल M) आणि दोन्ही पंतलुंचे वजन हे m आहे (स्मॉल m) असे समजू. वरच्या आकृतीत दाखविल्याप्रमाणे एक पतलू एका बाजूने एका मोटूच्या जितका जवळ जातो तितकाच दुसरा पतलू दुसऱ्या बाजूने दुसऱ्या मोटूच्या जवळ जातो. म्हणजेच दोन मोटू आणि दोन पतलू यांच्यातले अंतर समान आहे, म्हणजेच एका पतलुच्या मध्यबिंदूपासून एका मोटूच्या मध्यबिंदूपर्यंतचे अंतर आणि दुसऱ्या पतलूच्या मध्यबिंदूपासून दुसऱ्या मोटूच्या मध्यबिंदूपर्यंतचे अंतर ही दोन्ही अंतरे समान आहेत. त्या अंतरास आपण R असे म्हणू. 

तर आपण आधीच बघितल्याप्रमाणे प्रमाणे न्यूटनचा नियम सांगतो की 

दोन्ही मोटू आणि दोन्ही पतलू यांतील या गुरुत्वाकर्षणाच्या बलामुळे तारेस जो ट्विस्ट पडला त्याचा टॉर्क काढण्यासाठी आपल्याला या फोर्स लावण्याचा बिंदू (म्हणजे एका पतलूचा मध्यबिंदू) ते रोटेशन एक्सीस (म्हणजे जिथे तार रॉडला जोडली आहे तो बिंदू म्हणजेच रॉडचा मध्यबिंदू) यांतील अंतराने त्या बलास गुणावे लागेल. आता हे अंतर L आहे हे आपण पाहिले आहेच मात्र दोन्ही पतलू हा फोर्स तारेवर लावत असल्याने हे अंतर दुप्पट म्हणजेच २L इतके घ्यावे लागेल. मग आपला ट्विस्टिंग टॉर्क म्हणजे तारेस पीळ घालणारा टॉर्क पुढील प्रमाणे होईल. 

हा ट्विस्टिंग टॉर्क हा आपल्या दोन्ही मोटू पतलू जोड्यांतील गुरुत्वाकर्षणामुळे तारेवर पडला. आणि आपण हेही पाहिले की तार या टॉर्कच्या विरुद्ध दिशेने आपला पीळ सोडविण्याचा टॉर्क लावत असते. 

तो पीळ सोडविण्याचा टॉर्क हा तार किती अँगलने ट्विस्ट झाली आणि तिचा टॉर्शन कोइफिशियंट (म्हणजे जर आपण अँगल डिग्रीत मोजत असू तर एक डिग्री अँगल वाढविल्यास तारेत निर्माण होणारा टॉर्क किती असतो तो म्हणजे तिचा टॉर्शन कोइफिशियंट होय)

आपली तार ही θ या अँगलने ट्विस्ट झाली हे आपण वरती पाहिले आहे तर तिचा पीळ सोडविण्याचा टॉर्क हा पुढीलप्रमाणे होईल 

पीळ सोडविण्याचा टॉर्क= C x θ

इथे θ हा ट्विस्टिंग अँगल आहे तर C हा तारेचा टॉर्शन कोइफिशियंट आहे.

जशी मागच्या भागात सांगितलेली भिंगरी पीळ सोडविण्यासाठी विरुद्ध बाजूने फिरते आणि तशी ती फिरली की तिच्या वेगामुळे (किंवा खरेतर इनर्शिया मुळे) ती विरुद्ध बाजूने पीळ घालते आणि परत तोही पीळ सोडविण्यासाठी भिंगरी परत उलट्या बाजूने फिरते आणि अशाच प्रकारे आलटून पालटून दोन्ही बाजूंना पीळ घालत ती फिरतच राहते. असेच तारेचेही होते. तार एका बाजूने पिळली गेली की तो पीळ सोडविण्यासाठी दुसऱ्या बाजूस फिरते आणि या फिरण्याच्या इनर्शियामुळे तार बराच वेळ तिच्या नॉर्मल पीळ नसलेल्या स्थितीच्या दोन्ही बाजूंस आळीपाळीने ओशिलेशन्स सारखी ट्विस्ट आणि अनट्विस्ट होत राहते. तारेच्या याच आळीपाळीने फिरण्याच्या वेळेवरून तारेचा C काढला जातो.कॅव्हेंडिशने याच प्रकारे याच सेटअप मधून पतलुंच्या तारेचा C शोधला होता. 

जेव्हा ट्विस्टिंग टॉर्क आणि पीळ सोडविण्याचा टॉर्क सेम होतात तेव्हा तार θ या अँगलला येऊन थांबते. म्हणजेच या स्थितीस आपण पुढील इक्वेशनने दाखवू शकतो,

म्हणजेच

आता यातच रिअरेंजमेंट केली की आपल्याला G ची किंमत मिळते. 

खरेतर कॅव्हेंडिशने हा प्रयोग G शोधण्यासाठी नव्हे तर पृथ्वीची घनता म्हणजेच पर्यायाने पृथ्वीचे वजन मोजण्यासाठी केला होता मात्र या क्रियेत G शोधणे अनिवार्य होते त्यामुळेच कॅव्हेंडिशच्या मेथडने निघालेला G हा पुढील प्रमाणे येतो. 

आज मान्यताप्राप्त G ची किंमत ही पुढीलप्रमाणे आहे. 

म्हणजे केवळ १% एरर पर्सेंटेजच्या कक्षेत कॅव्हेंडिशने G ची किंमत शोधली होती, इतक्या कमी एरर पर्सेंटेजला विज्ञानात खरी किंमत म्हणून मान्यता देण्यात येऊ शकते. म्हणून सव्वाशे वर्षांपूर्वीच्या लिमिटेड तंत्राने मोजमाप करूनही एवढी जवळजवळ तंतोतंत जुळणारी किंमत कॅव्हेंडिशने शोधली हे अत्याधिक कौतुकास्पद आहे. 

अशा प्रकारे तारेच्या ट्विस्ट वरून कॅव्हेंडिशला G मिळाला. म्हणूनच आपण या सीरिजला ट्विस्ट में कहानी हे नाव दिले आहे. पण आपले काम एवढ्यात संपले नाहीये. पिच्चर अभी बाकी है मेरे दोस्त. अजून आपल्याला पृथ्वीचे वजन मोजायचे आहे. हे मोजण्यासाठीही आपल्याला न्यूटनचीच मदत घ्यावी लागते.

न्यूटनचा दुसरा नियम सांगतो की कोणत्याही वस्तूवर लागणारा फोर्स हा त्याचे मास म्हणजेच वस्तुमान आणि त्याला मिळालेले एक्सलरेशन यांच्या गुणाकाराइतका असतो.

F= मास x एक्सलरेशन म्हणजेच F = m x a 

पृथ्वीची ग्राविटी जी आपण म्हणतो ती ग्राविटी म्हणजे एक प्रकारचे एक्सलरेशनच असते ज्यामुळे वस्तू वेगाने पृथ्वीकडे खेचली जाते. याला एक्सलरेशन ड्यू टू ग्राविटी असे म्हणतात. हे एक्सलरेशन ड्यू टू ग्राविटी g (स्मॉल g) या अक्षराने दाखविले जाते. त्यामुळेच आपण वरील समीकरणात आपण ग्राविटीच्या फोर्स साठी a ऐवजी g घेऊ शकतो. म्हणजे m इतक्या वस्तुमानाची कोणतीही वस्तू पृथ्वीकडे ज्या फोर्सने ओढली जाते तो फोर्स पुढीलप्रमाणे असतो. 

F = m x g 

म्हणजेच 

F = mg 

आता हेच सूक्त आपण न्यूटनच्या आपण आधीच पाहिलेल्या पुढील वैश्विक ग्रॅव्हिटेशनल सिद्धांताशी जुळवू. 

ही दोन्ही इक्वेशन एकत्र केल्यावर आपल्याला मिळते. 

म्हणजेच

रिएरेन्ज करून आपल्याला पुढीलप्रमाणे M म्हणजेच पृथ्वीचे मास मिळते. 

म्हणजेच 

R म्हणजे पृथ्वीची त्रिज्या फार पूर्वीच शोधलेली होती. ती आहे ६३७१ किलोमीटर. स्मॉल g सहज कोणत्याही वस्तूवर लागलेल्या बलाचे मोजमाप करून शोधतता येतो. तो आहे.  

याप्रमाणे मग आपण R, g आणि G यांच्या किंमती वरील समीकरणात टाकल्या की आपल्याला पृथ्वीचे वजन मिळते. अशा प्रकारे मोजलेले पृथ्वीचे वजन हे पुढीलप्रमाणे येते. 

न्यूटनच्या सिद्धांतातील युनिवर्सल ग्राविटेशनल कॉन्स्टन्ट म्हणजेच G ची किंमत मिळाल्याने आता आपण केवळ पृथ्वीचेच नाही तर चंद्र, सूर्य, इतर सगळे ग्रह किंवा आपल्या  संपूर्ण ब्रह्मांडातील कोणत्याही ग्रह वा ताऱ्याचे वजन मोजू शकतो. तर समस्त पंचक्रोशीतील बंधू आणि भगिनींनो, आज या ठिकाणी पृथ्वीमातेचे वजन करून 'असाध्य ते साध्य करीता सायास' ही उक्ती खरी करून दाखविली आहे ती आपल्या कॅव्हेंडिश भाऊंनी. याबद्दल या ठिकाणी मी कॅव्हेंडिश भाऊंचे अखिल भारतीय वजनात काटा मार मंडळातर्फे हार्दिक अभिनंदन करतो, आणि माझे दोन शब्द संपवतो.

जय न्यूटन, जय पृथ्वी.